페르마의 생애
페르마는 1607년 또는 1608년에 프랑스 툴룹$\text{(Toulouse)}$에서 태어났습니다. 그의 가족은 법률 관련 직업을 가졌으며, 그 역시 법률을 공부하다가 수학에 빠져들었습니다. 그는 툴룹 대학에서 법학 학사 학위를 받았으나 수학에 대한 관심이 더 컸습니다. 페르마는 다양한 수학적 이론과 문제에 기여하였습니다. 그의 가장 유명한 이론은 '페르마의 마지막 정리'로 알려져 있으며, 이는 많은 수학자들에게 여전히 도전적인 문제로 남아 있습니다. 또한 그는 해석학, 통계학, 확률론, 수론 등 다양한 분야에서 중요한 연구를 수행하였습니다. 뉴턴은 "나의 연구는 페르마의 접선 계산법에 근거했다"고 말할 정도로 여러 수학자들에게 깊은 영향을 끼쳤습니다. 페르마는 1665년에 프랑스 툴룹에서 세상을 떠났습니다. 그의 노트와 연구는 그의 사후에 큰 관심을 받게 되었고, 페르마의 이름은 수학계에서 영원히 기억되었습니다. 페르마는 그의 짧은 생애 동안 수학적으로 혁신적인 연구를 했으며, 특히 "페르마의 마지막 정리"는 수학계에서 미스터리와 관심의 대상으로 남아 있습니다. 그의 이론은 현대 대수학과 수학의 다양한 분야에 큰 영향을 끼치며, 그의 이름은 수학의 역사에 빛나는 이름 중 하나로 남아 있습니다.
수론에 대한 페르마의 연구
페르마의 작은 정리: $p$가 소수이면 $p$보다 작은 모든 자연수 $a$에 대해 $2^{p-1}-1$로 나누어 떨어진다.
두 제곱 정리: $4n+1$꼴의 모든 소수는 두 제곱수의 합으로 포함되지만, $4n-1$꼴의 모든 소수는 두 제곱수의 합으로 표현할 수 없다. $4n+1$꼴의 소수는 단 하나의 직각 삼각형의 빗변이 될 수 있고, 이런 소수의 제곱은 두 개의 직각 삼각형의 빗변이 될 수 있으며, 이런 소수의 세제곱은 세 개의 직각 삼각형의 빗변이 될 수 있다. 이와 같이 계속 진행된다. 예를 들면, 5의 경우 다음과 같다. $5^2=3^2+4^2$, ${{25 ^{2} =15 ^{2} +20 ^{2} =7 ^{2} +24 ^{2}}}$, ${125 ^{2} =75 ^{2} +100 ^{2}=35 ^{2} +120 ^{2} =44 ^{2} +117 ^{2}}$
모든 수는 삼각수이거나 둘 또는 세 개의 삼각수의 합이다. 또, 모든 수는 제곱수이거나 둘, 셋, 또는 네 개의 제곱수의 합이다. 그리고 모든 수는 오각수이거나 둘, 셋, 넷, 또는 다섯 개의 오각수의 합이다. 그리고 이렇게 계속된다.
페르마의 마지막 정리: 페르마의 마지막 정리는 그의 노트에 기록된 것으로, 그의 죽음 후에 발견되었습니다. 이 정리는 많은 수학자들에 의해 연구되었으며, 오랫동안 그 증명이 없었습니다. 정리의 내용은 "n이 2보다 큰 양의 정수일 때, a, b, c가 $a^n + b^n = c^n$을 만족시키는 양의 정수인 경우가 없다"는 것입니다. 이 문제는 358년에 처음 제기되었고, 1994년에 Andrew Wiles에 의해 증명되어 엄청난 관심을 받았습니다. 이로써 페르마의 마지막 정리는 미스터리에서 해결로 나아가는 과정을 보여주는 좋은 예시입니다. 페르마의 마지막 정리는 수학계에 큰 영향을 미쳤습니다. 이 이론의 증명은 현대 대수학과 모형이론의 중요한 부분으로 자리잡았고, 새로운 수학적 개념과 이론의 개발에 영감을 주었습니다. 또한, 이러한 미스터리를 푸는 데 필요한 수학적 탐구와 논리적 사고는 수학 연구자들에게 중요한 교훈을 제공했습니다.
페르마의 마지막 정리의 유래
그리스 수학자 디오판토스의 산학 제 II권 문제 8 의 옆에 페르마가 남긴 기록이 있었다고 합니다. 산학 제 II권 문제 8은 '주어진 제곱수를 두 개의 제곱수의 합으로 쓰라'는 문제였는데요, $x^2+y^2=z^2$을 만족시키는 자연수 $x, y, z$를 찾으라는 문제입니다. 이에 대해 페르마는 논란이 되는 문장을 하나 남겼는데요, "세제곱수를 두 개의 세제곱수의 합으로 또는 네제곱수를 두 개의 네제곱수의 합으로 또는 일반적으로 차수가 2보다 큰 임의의 거듭제곱수를 그와 같은 차수의 두 개의 거듭제곱수로 표현하는 것은 불가능하다. 나는 이 명제에 대한 정말로 놀라운 증명을 발견했지만, 이 여백이 너무 좁아서 증명을 적을 수 없다."는 말로 시대에 큰 숙제를 남겼습니다.